已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓E：
x2
2
+
y2
b2
=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)、橢圓的離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知直線y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q，求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)F2．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由題意可知，e2=
2-b2
2
=（
2
2
）2，則b2=1，從而求橢圓E的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)2（1，0），由
y=kx+m
x2
2
+y2=1
可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0；令△=0可得2k2=m2-1，且P（-
2k
m
，
1
m
），Q（2，2k+m）；從而可證
F2P
•
F2Q
=0．
解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，
e2=
2-b2
2
=（
2
2
）2，則b2=1；
則橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，F(xiàn)2（1，0），
聯(lián)立動(dòng)直線和橢圓方程可得，
y=kx+m
x2
2
+y2=1
，
則（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0；
由△=0可得，
2k2=m2-1，且P（-
2k
m
，
1
m
），Q（2，2k+m）；
∴
F2P
•
F2Q
=（-
2k
m
-1，
1
m
）•（1，2k+m）
=-
2k
m
-1+
1
m
（2k+m）=0，
∴
F2P
⊥
F2Q
，
∴以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)F2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)及向量的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2-i，則-
1
4
.
z
+
i
z
對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正△，側(cè)棱A1A⊥面ABC，若AB=AA1，則異面直線A1B與AC所成的角的余弦值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是某糧食烘干設(shè)備的簡(jiǎn)易圖，它是由兩個(gè)完全一樣的四棱錐P1-ABCD與P2-ABCD組成，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，O1、O2分別是BC、AD的中點(diǎn)，P1O2⊥面ABCD，P2O1⊥面ABCD，且P1O2=P2O1=a，設(shè)備工作時(shí)，糧食從兩個(gè)四棱兩端的非公共部分流入烘干設(shè)備，烘干后糧食自動(dòng)流到公共部分，要使這個(gè)糧食烘干設(shè)備一次烘干糧食的體積不小于45個(gè)單位體積，求a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面有五個(gè)命題
①函數(shù)f（x）=sin4x-cos4x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(-
π
4
，0)；
②y=
x+3
x-1
的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱，
③定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函數(shù)，在銳角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），則m和n的大小關(guān)系為m＞n
④設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，則方程f(x)=f(
x+3
x+4
)所有根之和為8
⑤不等式sinx＞
4x2
π2
對(duì)任意x∈(0，
π
2
)恒成立．
其中真命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

具有性質(zhì)：f（
1
x
）=-f（x）的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，則下列函數(shù)：①y=x-
1
x
；②y=x+
1
x
；③y=lnx；④y=
x(0＜x＜1)
0(x=1)
-
1
x
(x＞1)
中所有滿足“到負(fù)”交換的函數(shù)是（　�。�
A、①③B、②④C、①④D、①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類似的，我們?cè)谄矫嫦蛄考疍={
a
|
a
=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“＞”．定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)向量
a1
=（x1，y1），
a2
=（x2，y2），
a1
＞
a2
當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”按上述定義的關(guān)系“＞”，給出下列四個(gè)命題：
①若
e1
=（1，0），
e2
=（0，1），
0
=（0，0）則
e1
＞
e2
＞
0
；
②若
a1
＞
a2
，
a2
＞
a3
，則
a1
＞
a3
；
③若
a1
＞
a2
，則對(duì)于任意
a
∈D，
a1
+
a
＞
a2
+
a
；
④對(duì)于任意向量
a
＞
0
，
0
=(0，0)，若
a1
＞
a2
，則
a
•
a1
＞
a
•
a2
．
其中命題正確的序號(hào)為（　　）
A、①②B、①③
C、①②③D、①②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題為真命題的是
 
．（用序號(hào)表示即可）
①cos1＞cos2＞cos3；
②若an=an+3且an=n+3（n=1、2、3），則a2013＜a2014＜a2015；
③若e1、e2、e3分別為雙曲線x2-
y2
3
=1、
x2
4
-
y2
3
=1、
x2
4
-y2=1的離心率，則e1＞e2＞e3；
④若x1＞x2＞x3，則lgx1＞lgx2＞lgx3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）中，若以其焦點(diǎn)為圓心，半實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與漸近線相切，則其漸近線方程為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案