Question

6．設兩個非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線．
（1）如$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}$=-3（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），$\overrightarrow{CD}$=-2$\overrightarrow{a}$-13$\overrightarrow$，求證：A，B，D三點共線．
（2）試確定k的值，使k$\overrightarrow{a}$+12$\overrightarrow$和3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$共線．

Answer 1

分析 （1）容易得出$\overrightarrow{BD}=-5\overrightarrow{AB}$，從而$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{AB}$共線，進而得出A，B，D三點共線；
（2）由$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow$和$3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$共線即可得到：$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow=λ（3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow）$，從而可得到關于k，λ的方程組，解出k即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$-3（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）-2\overrightarrow{a}-13\overrightarrow=-5\overrightarrow{a}-10\overrightarrow$=$-5\overrightarrow{AB}$；
又AB，BD有公共點B；
∴A，B，D三點共線；
（2）∵$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow$和$3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$共線；
∴存在實數λ，使得$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow=λ（3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3λ}\\{12=kλ}\end{array}\right.$；
解得k=±6．

點評 考查向量加法的幾何意義，向量的數乘運算，平面向量及共線向量基本定理．