選修4­2:矩陣與變換

已經(jīng)矩陣M=.

(1)求直線4x-10y=1在M作用下的方程;

(2)求M的特征值與特征向量.

 

【答案】

 (1)

(2)當(dāng)λ1=4時(shí),由1λ1α1,得特征向量α1=;

當(dāng)λ2=5時(shí),由2λ2α2,得特征向量α2=.

 

【解析】本試題主要是考查了矩陣的運(yùn)算,以及特征向量的求解和特征多項(xiàng)式的表示的綜合運(yùn)用。

(1)因?yàn)?i>M=. 設(shè)直線上任意一點(diǎn)在 作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn),則  = ,

(2)因?yàn)榫仃?i>M的特征多項(xiàng)式f(λ)==(λ-4)(λ-5)=0,進(jìn)而討論得到特征向量。

(1)因?yàn)?i>M=. 設(shè)直線上任意一點(diǎn)在 作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn),則  = ,………………………………………………………………2分

,所以,代入,得,即,

所以所求曲線的方程為.……………………………………………………………4分

(2)矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)==(λ-4)(λ-5)=0,

所以M的特征值為λ1=4,λ2=5.  …………………………………………………………6分

當(dāng)λ1=4時(shí),由1λ1α1,得特征向量α1=;

當(dāng)λ2=5時(shí),由2λ2α2,得特征向量α2=.…………………………………………10分

 

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