選修42:矩陣與變換
已經(jīng)矩陣M=.
(1)求直線4x-10y=1在M作用下的方程;
(2)求M的特征值與特征向量.
(1) .
(2)當(dāng)λ1=4時(shí),由Mα1=λ1α1,得特征向量α1=;
當(dāng)λ2=5時(shí),由Mα2=λ2α2,得特征向量α2=.
【解析】本試題主要是考查了矩陣的運(yùn)算,以及特征向量的求解和特征多項(xiàng)式的表示的綜合運(yùn)用。
(1)因?yàn)?i>M=. 設(shè)直線上任意一點(diǎn)在 作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn),則 = ,
(2)因?yàn)榫仃?i>M的特征多項(xiàng)式f(λ)==(λ-4)(λ-5)=0,進(jìn)而討論得到特征向量。
(1)因?yàn)?i>M=. 設(shè)直線上任意一點(diǎn)在 作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn),則 = ,………………………………………………………………2分
即,所以,代入,得,即,
所以所求曲線的方程為.……………………………………………………………4分
(2)矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)==(λ-4)(λ-5)=0,
所以M的特征值為λ1=4,λ2=5. …………………………………………………………6分
當(dāng)λ1=4時(shí),由Mα1=λ1α1,得特征向量α1=;
當(dāng)λ2=5時(shí),由Mα2=λ2α2,得特征向量α2=.…………………………………………10分
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在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)O(0,0), B.
(1)求以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,判斷直線與圓的位置關(guān)系.
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如圖,圓O的直徑AB=4,C為圓周上一點(diǎn),BC=2,過(guò)C作圓O的切線l,過(guò)A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓O交于點(diǎn)D、E,求線段AE的長(zhǎng).
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