Question

有時(shí)可用函數(shù)f（x）=

0.1+15ln a a-x x≤6 x-4.4 x-4 x＞6

，描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度．其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（x∈N^*），f（x）表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)．
（1）證明：當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f（x+1）-f（x）總是下降；
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為（115，121]，（121，127]，（127，133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科．

Answer 1

分析：（1）x≥7時(shí)，作差求出增長(zhǎng)量f（x+1）-f（x），研究其單調(diào)性知，差是一個(gè)減函數(shù)，故掌握程度的增長(zhǎng)量總是下降、
（2）學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，故得方程0.1+15ln

a

a-6

=0.85由此方程解出a的值即可確定相應(yīng)的學(xué)科．

解答：證明：（1）當(dāng)x≥7時(shí)，f(x+1)-f(x)=

0.4

(x-3)(x-4)

而當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y=（x-3）（x-4）單調(diào)遞增，且（x-3）（x-4）＞0
故函數(shù)f（x+1）-f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f（x+1）-f（x）總是下降
（2）由題意可知0.1+15ln

a

a-6

=0.85
整理得

a

a-6

=e0.05
解得a=

e0.05

e0.05-1

•6=20.50×6=123，123∈(121，127]（13分）
由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，在實(shí)際問題中，分段函數(shù)是一個(gè)很重要的函數(shù)模型．