【題目】已知橢圓C的兩個頂點分別為A(﹣2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4:5.
【答案】解:(Ⅰ)由橢圓的焦點在x軸上,設(shè)橢圓方程: (a>b>0),
則a=2,e= = ,則c= ,
b2=a2﹣c2=1,
∴橢圓C的方程 ;
(Ⅱ)證明:設(shè)D(x0 , 0),(﹣2<x0<2),M(x0 , y0),N(x0 , ﹣y0),y0>0,
由M,N在橢圓上,則 ,則x02=4﹣4y02 ,
則直線AM的斜率kAM= = ,直線DE的斜率kDE=﹣ ,
直線DE的方程:y=﹣ (x﹣x0),
直線BN的斜率kBN= ,直線BN的方程y= (x﹣2),
,解得: ,
過E做EH⊥x軸,△BHE∽△BDN,
則丨EH丨= ,
則 = ,
∴:△BDE與△BDN的面積之比為4:5.
【解析】(Ⅰ)由題意設(shè)橢圓方程,由a=2,根據(jù)橢圓的離心率公式,即可求得c,則b2=a2﹣c2=1,即可求得橢圓的方程;
(Ⅱ)由題意分別求得DE和BN的斜率及方程,聯(lián)立即可求得E點坐標(biāo),根據(jù)三角形的相似關(guān)系,即可求得 = ,因此可得△BDE與△BDN的面積之比為4:5.
【考點精析】利用點斜式方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直線的點斜式方程:直線經(jīng)過點,且斜率為則:;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位,以原點為極點,以x軸正半軸為極軸,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,曲線C2的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0≤α<π),射線θ=φ,θ=φ+ ,θ=φ﹣ 與曲線C1交于(不包括極點O)三點A、B、C.
(1)求證:|OB|+|OC|= |OA|;
(2)當(dāng)φ= 時,B,C兩點在曲線C2上,求m與α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BC∥ DE,∠ DCB=45°,O是BC中點,AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=.
(1)證明:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD—A1B1C1D1中,若E為A1C1中點,則直線CE垂直于( )
A. AC B. BD C. A1D D. A1A
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,E,F分別是棱AB,BC的中點,EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若,求點D的坐標(biāo);
(2)問是否存在實數(shù)α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D中,S是B1D1的中點,E、F、G分別是BC、CD和SC的中點.求證:
(1)直線EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD中,以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,E為B的中點,F(xiàn)為的中點,則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是( )
A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)
C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)
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