5.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值為2,求a的值.

分析 (1)已知a=1,ff′(x)=$\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x(x-2)}$,求解f(x)的單調(diào)區(qū)間,只需令f′(x)>0解出單調(diào)增區(qū)間,令f′(x)<0解出單調(diào)減區(qū)間.
(2)區(qū)間(0,1]上的最值問題,通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性,結(jié)合極值點和端點的比較得到,確定待定量a的值.

解答 解:對函數(shù)求導(dǎo)得:f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+a,定義域為(0,2)
(1)當(dāng)a=1時,f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$=$\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x(x-2)}$,令f′(x)=0,解得x=$\sqrt{2}$,
∴當(dāng)x∈(0,$\sqrt{2}$)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈($\sqrt{2}$,2)時,f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間是$(0,\sqrt{2})$;減區(qū)間是$(\sqrt{2},2)$.
(2)當(dāng)$x∈(0,1],f'(x)=\frac{2-2x}{x(2-x)}+a>0$,即f(x)在(0,1]上為單調(diào)遞增.
最大值在右端點取到f(x)max=f(1)=a=2.

點評 本題考查了考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-2a+4)2=1.
(Ⅰ)若圓C經(jīng)過A(3,3)與B(4,2)兩點,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)點P(0,3),若圓C上存在點M,使|MP|=2|MO|,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}-2alnx+(a-2)x,a∈R$
(Ⅰ)當(dāng)a<0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)$a≤-\frac{1}{2}$時,對任意的x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,都有f(x2)-ax2>f(x1)-ax1成立.

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13.已知函數(shù)f(x)=2x2-4x+3,則函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最大值為9.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知直線l:$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C1:x2+y2=1
(1)設(shè)l與C1相交于A,B兩點,求|AB|.
(2)若曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的$\frac{1}{2}$,縱坐標(biāo)壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,得到曲線C2,設(shè)點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.若函數(shù)f(x)=2cos2x+asinx-4在$[{\frac{π}{6},\frac{π}{2}}]$內(nèi)的圖象恒在x軸下方,則a的取值范圍為a<4$\sqrt{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于A點,焦點是F,P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點,令m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$,當(dāng)m取得最小值時,PA的斜率是(  )
A.1B.2C.3D.4

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14.近日石家莊獅身人面像拆除,圍繞此事件的種種紛爭,某媒體通過隨機詢問100名性別不同的居民對此的看法,得到表
認(rèn)為就應(yīng)依法拆除認(rèn)為太可惜了
4510
3015
附:
P(K2≥k)0.100.050.025
k2.7063.8415.024
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
參照附表,得到的正確結(jié)論是( 。
A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”
C.有90%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
D.有90%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.若關(guān)于x的一元二次方程3x2+2ax+1=0沒有實數(shù)根,則a的取值范圍是( 。
A.(-∞,-$\sqrt{3}$)∪($\sqrt{3}$,+∞)B.(-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)C.[-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$]D.[-3,3]

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同步練習(xí)冊答案