Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，再由長軸的值求出a的值，進(jìn)而利用橢圓的性質(zhì)求出b的值，確定出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與直線y=x+2聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出兩交點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，即可求線段AB的長．

解答： 解：（1）∵橢圓C的焦點(diǎn)F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長6，
∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c=2

2

，a=3，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+y2=1；
（2）直線y=x+2代入橢圓方程可得10x²+36x+27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

18

5

，x₁x₂=

27

10

，
∴|AB|=

1+1

•

(- 18 5 )2-4× 27 10

=

6 3

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．