Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-3|，（x≠3）}\\{3，（x=3）}\end{array}\right.$，若函數(shù)F（x）=f²（x）+bf（x）+c有五個不同的零點x₁，x₂，…，x₅，則f（x₁+x₂+…+x₅）=log₅12．

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=3對稱，再由題意可得，五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，有一個是3，其余4個關于直線x=3對稱，故有x₁+x₂+…+x₅=15，再根據(jù) f（x₁+x₂+…+x₅）=f（15），運算求得結果．

解答 解：∵已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-3|，（x≠3）}\\{3，（x=3）}\end{array}\right.$，故有f（3）=3．
根據(jù)當x＞3時，f（x）=log₅（x-3），當x＜3時，f（x）=log₅（3-x），
畫出函數(shù)圖象，如圖所示，可得函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=3對稱．
再根據(jù)關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，
f（x）=3時，方程f（x）=3有3個根，當f（x）=t，（t≠3）時，方程有2個不同的根，
∵關于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，有一個是3，其余4個關于直線x=3對稱
∴x₁+x₂+…+x₅ =15，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（15）=log₅12
故答案為  log₅12．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，關鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象關于x=3對稱，得出5個根也關于直線x=3對稱，從而求得x₁+x₂+…+x₅ ，屬于中檔題．