Question

已知M是拋物線y²=-8x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M到直線x=2的距離是d₁，M到直線x-y=4的距離是d₂，則d₁+d₂的最小值是（　�。�

• A、0
• B、2

  2

• C、3

  2

• D、不存在

Answer 1

分析：由題意得拋物線的焦點(diǎn)為F（-2，0）、準(zhǔn)線為x=2．根據(jù)拋物線的定義可得d₁+d₂=|MF|+d₂，再利用平面幾何的知識(shí)可得當(dāng)MF所在直線與直線x-y=4垂直時(shí)，點(diǎn)F到直線x-y=4的距離就是d₁+d₂的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：∵拋物線y²=-8x中，2p=8，可得

p

2

=2，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（-2，0），準(zhǔn)線為x=2．
根據(jù)拋物線的定義，M到直線x=2的距離是d₁=|MF|，
設(shè)點(diǎn)F到直線x-y=4的距離是d，
則由平面幾何的知識(shí)可得：d₁+d₂=|MF|+d₂≥d，
當(dāng)且僅當(dāng)MF所在直線與直線x-y=4垂直時(shí)，
d₁+d₂有最小值，最小值為d=

|-2-0-4|

2

=3

2

．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的準(zhǔn)線與另一條定直線，求拋物線上動(dòng)點(diǎn)到兩條直線的距離之和的最小值．著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、拋物線定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．