Question

2．如圖，BC是⊙O的直徑，EC與⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是$\widehat{AC}$的中點，BD的延長線與CE交于E．
（Ⅰ）求證：BC•CD=BD•CE；
（Ⅱ）若$CE=3，DE=\frac{9}{5}$，求AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角得到角之間的關(guān)系，由三角形相似判定定理和性質(zhì)，證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）根據(jù)等弧所對的圓周角相等得∠ABD=∠CBD，由直徑所對的圓周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根據(jù)勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割線定理得求出AB．

解答 證明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直徑，EC與⊙O相切于C，D是AC弧的中點，
∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，
∴△BCD∽△CED．…（3分）
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{BD}{CD}$，
∴BC•CD=BD•CE．…（5分）
解：（Ⅱ）設(shè)BA的延長線與CD的延長線交于F，
∵D是AC弧的中點，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=∠BDF=90°，
∴△BDC≌△BDF．
∴CD=FD，BC=BF，
在Rt△CDE中，$CD=\sqrt{C{E^2}-D{E^2}}=\frac{12}{5}$．
∴$FD=\frac{12}{5}$．
∵∠BDC=∠BCE=90°，
∴CD²=BD•DE，
∴$BD=\frac{{C{D^2}}}{DE}=\frac{16}{5}$，
∴$BC=\sqrt{B{D^2}+C{D^2}}=4$，
∴BF=4．…（8分）
由割線定理得（FB-AB）•FB=FD•FC，
即$（{4-AB}）×4=\frac{12}{5}×\frac{24}{5}$，解得$AB=\frac{28}{25}$．
∴$AB=\frac{28}{25}$．…（10分）

點評 本題考查圓的切線性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，三角形相似、全等的判定定理，以及割線定理等應(yīng)用，屬于綜合題．