Question

（理科）已知如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，其中AB=3，PA=4．若在PD上存在一點(diǎn)E，使得BE⊥CE．
（Ⅰ）求線段AD長(zhǎng)度的取值范圍；
（Ⅱ）若滿足條件的E點(diǎn)有且只有一個(gè)，求二面角E-BC-A的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為F，連結(jié)BF，過點(diǎn)F作AB的平行線，交BC于G，連結(jié)EG，令EF=x，AD=a，利用勾股定理、根的判別式等知識(shí)點(diǎn)能線段AD長(zhǎng)度的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)a=4

3

時(shí)，方程4x²-12x+9=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，由此能推導(dǎo)出存在唯一的點(diǎn)E．并能求出二面角E-BC-A的正切值．

解答： （理科）（Ⅰ）解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為F，連結(jié)BF，
過點(diǎn)F作AB的平行線，交BC于G，連結(jié)EG，
令EF=x，AD=a，
∵PA⊥面ABCD，∴EF∥PA，
∴DF=

EF

PA

•AD=

ax

4

，AF=(1-

x

4

)a，
∴BE²=BF²+EF²=AB²+AF²+EF²=9+(1-

x

4

)2a2+x2．
∵BE⊥CE，∴BC²=BE²+CE²．
∵BC=a，CE²=EF²+FC²=EF²+FD²+CD²=x2+

1

16

a2x2+9，
∴a2=18+(1+

x2

8

-

x

2

)a2+2x2，
(

a2

8

+2)x2-

a2

2

x+18=0①．
由△≥0，得a⁴-36a²-576≥0，解得a≥4

3

．
∴線段AD長(zhǎng)度的取值范圍是[4

3

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=4

3

時(shí)，
方程①即4x²-12x+9=0，△=0．
方程①有且僅有一個(gè)實(shí)根，
∴存在唯一的點(diǎn)E．
∵EF⊥面ABCD，BC⊥FG，BC⊥EG，
∴∠EGF是二面角E-BC-F的平面角，
tan∠EGF=

EF

GF

=

3 2

3

=

1

2

．
∴二面角E-BC-A的正切值為

1

2

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)度取值范圍的求法，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．