Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個頂點．
（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G，F(xiàn)，H三點共線；
（Ⅱ）當直線FH與OB平行時，求頂點C的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由A、O、B三點的坐標，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標；分與兩種情況討論，易得證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中（c≠0，b≠），得，進而化簡可得；結(jié)合橢圓的方程，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由△OBC三頂點坐標O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），
可求得重心，
外心，
垂心．
當時，G，F(xiàn)，H三點的橫坐標均為，故三點共線；
當時，設(shè)G，H所在直線的斜率為k_GH，F(xiàn)，G所在直線的斜率為k_FG．
因為，
，
所以k_GH=k_FG，G，F(xiàn)，H，三點共線．
綜上可得，G，F(xiàn)，H三點共線．
（Ⅱ）解：若FH∥OB，由，
得
配方得，即．
即．
所以，頂點C的軌跡是中心在，長半軸長為，短半軸長為，且短軸在x軸上的橢圓，
但除去（0，0），（1，0），，四點．
點評：本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力；解題時，首先注意軌跡的求法及軌跡與軌跡方程的區(qū)別，其次要結(jié)合重心、垂心、外心的性質(zhì)來解題．