Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且對?x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常數(shù)，C=

π

3

．
（1）求

c

a

的值；
（2）若邊長c=2，解關(guān)于x的不等式asinx-bcosx＜2．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）cos（x-A）-cos（x-B）化為cosx（cosA-cosB）+sinx（sinA-sinB）．由于對?x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常數(shù)，可得

cosA=cosB sinA=sinB

，再利用正弦定理即可得出．
（2）由（1）可得：a=b=c=2，于是不等式asinx-bcosx＜2，化為sinx-cosx＜1，利用兩角和差的正弦公式化簡即可解出．

解答： 解：（1）cos（x-A）-cos（x-B）
=cosxcosA+sinxsinB-cosxcosB-sinxsinB
=cosx（cosA-cosB）+sinx（sinA-sinB）．
∵對?x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常數(shù)，
∴

cosA=cosB sinA=sinB

，
∴A=B，
又C=

π

3

，
∴A=B=

π

3

．
∴

c

a

=

sinC

sinA

=1．
（2）由（1）可得：a=b=c=2，
∴不等式asinx-bcosx＜2，化為sinx-cosx＜1，
∴

2

sin(x-

π

4

)＜1，∴sin(x-

π

4

)＜

2

2

．
∴-

5π

4

+2kπ＜x-

π

4

＜

π

4

+2kπ(k∈Z)，
解得-π+2kπ＜x＜

π

2

+2kπ(k∈Z)．

點評：本題綜合考查了解三角形、恒成立問題、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．