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12.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y滿足f(x)=f(y)f(x-y),且f(1)=89
(1)當(dāng)n∈N*時,求證:數(shù)列{f(n)}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)an=(n+1)•f(n),求和:a1+a2+a3+…+an

分析 (1)在已知函數(shù)等式中,取x=n+1,y=1,即可證得數(shù)列{f(n)}是等比數(shù)列;
(2)由(1)求出數(shù)列{f(n)}的通項公式,代入an=(n+1)•f(n),然后利用錯位相減法求和.

解答 (1)證明:取x=n+1,y=1,則由f(x)=f(y)f(x-y),得
f(n+1)=f(1)•f(n)=89fn,
∴數(shù)列{f(n)}是以89為首項,以89為公比的等比數(shù)列;
(2)解:由(1)知,f(n)=89n,
an=(n+1)•f(n)=(n+1)89n
則Sn=a1+a2+a3+…+an=2×891+3×892++n+189n,
89Sn=2×892+3×893++n89n+n+189n+1,
兩式作差得:19Sn=169+[892+893++89n]n+189n+1=169+6481[189n1]189n+189n+1
Sn=8051264n989n1

點評 本題考查抽象函數(shù)的概念及其應(yīng)用,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和,是中檔題.

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