Question

12．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x，y滿足f（x）=f（y）f（x-y），且f（1）=$\frac{8}{9}$．
（1）當(dāng)n∈N^*時，求證：數(shù)列{f（n）}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)a_n=（n+1）•f（n），求和：a₁+a₂+a₃+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）在已知函數(shù)等式中，取x=n+1，y=1，即可證得數(shù)列{f（n）}是等比數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{f（n）}的通項公式，代入a_n=（n+1）•f（n），然后利用錯位相減法求和．

解答 （1）證明：取x=n+1，y=1，則由f（x）=f（y）f（x-y），得
f（n+1）=f（1）•f（n）=$\frac{8}{9}f（n）$，
∴數(shù)列{f（n）}是以$\frac{8}{9}$為首項，以$\frac{8}{9}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，f（n）=$（\frac{8}{9}）^{n}$，
a_n=（n+1）•f（n）=（n+1）$•（\frac{8}{9}）^{n}$，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$2×（\frac{8}{9}）^{1}+3×（\frac{8}{9}）^{2}+…+（n+1）（\frac{8}{9}）^{n}$，
$\frac{8}{9}{S}_{n}=2×（\frac{8}{9}）^{2}+3×（\frac{8}{9}）^{3}+…+n（\frac{8}{9}）^{n}+（n+1）（\frac{8}{9}）^{n+1}$，
兩式作差得：$\frac{1}{9}{S}_{n}=\frac{16}{9}+[（\frac{8}{9}）^{2}+（\frac{8}{9}）^{3}+…+（\frac{8}{9}）^{n}]-（n+1）（\frac{8}{9}）^{n+1}$=$\frac{16}{9}+\frac{\frac{64}{81}[1-（\frac{8}{9}）^{n-1}]}{1-\frac{8}{9}}-（n+1）（\frac{8}{9}）^{n+1}$．
∴${S}_{n}=80-\frac{512-64n}{9}•（\frac{8}{9}）^{n-1}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)的概念及其應(yīng)用，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．