Question

已知一直線l與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為P（2，1）．
（I）求直線l的方程；
（II）求|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）先假設(shè)直線方程，在與橢圓方程聯(lián)立得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求；
（II）由（I）得x1+x2=4，x1x2=

10

3

，從而可求|AB|的長(zhǎng)．

解答：解：（I）若斜率不存在，則由橢圓的對(duì)稱性及弦AB的中點(diǎn)為P（2，1），知不成立
若斜率存在，設(shè)斜率為k則直線的方程為：y-1=k（x-2），∴y=kx+1-2k，
代入橢圓方程得：x²-2（kx+1）-2k²=8，
整理得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，①
設(shè)A(x1，y2)，B(x2，y2)，則x1+x2=

4k(2k-1)

2k2+1

=4，
解得：k=-1，即1的方程為：x+y-3=0
（注：也可用點(diǎn)差法求解）
（II）當(dāng)k=-1時(shí)，方程①為：3x²-12x+10=0，
∴x1+x2=4，x1x2=

10

3

．
∴|AB|=

2

16-4× 10 3

=

4

3

3

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線相交時(shí)的中點(diǎn)弦問(wèn)題，通常利用設(shè)而不求的方法，應(yīng)注意進(jìn)行驗(yàn)證，求弦長(zhǎng)時(shí)可直接利用弦長(zhǎng)公式求解．