Question

【題目】已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點(diǎn).

（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對稱點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）若函數(shù)有局部對稱點(diǎn),則,即有解,即可求證；

（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；

（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.

（1）證明:由得,

代入得,

則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,

所以函數(shù)必有局部對稱點(diǎn)

（2）解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點(diǎn)

所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,

所以,

設(shè),則,所以

令,則,

當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以,

因?yàn)?/span>,,所以,所以,

所以

（3）解:由題,,

由于,所以,

所以（*）在R上有解,

令,則,

所以方程（*）變?yōu)?/span>在區(qū)間內(nèi)有解,

需滿足條件：

,即,

得