Question

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂，總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0且f（1）=1．若對于任意α∈[-1，1]，使f（x）≤t²-2αt-1成立，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、-2≤t≤2
• B、t≤-1-

  3

  或t≥

  3

  +1
• C、t≤0或t≥2
• D、t≥2或t≤-2或t=0

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可先研究函數f（x）的單調性，求出該函數在[-1，1]上的最大值，然后將問題轉化為t²-2at-1≥f（x）_max對任意的α∈[-1，1]恒成立問題，再把α看成主元，研究關于α的函數的最值，即可解決問題．

解答： 解：因為對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂，總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
所以函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（x）_max=f（1）=1．
所以問題轉化為t²-2αt-1≥f（x）_max=f（1）=1對任意的α∈[-1，1]恒成立．
令g（α）=t²-2αt-1，α∈[-1，1]．
則要使上式成立，只需

g(-1)≥1 g(1)≥1

，即

t2+2t-1≥1 t2-2t-1≥1

，
解得t≤-1-

3

或t≥1+

3

．
故選：B．

點評：本題考查了函數的單調性，以及利用函數思想解決不等式恒成立問題的基本思路，屬于中檔題．