Question

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
（1）在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ=4上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+

3

sinθ)=6的距離為d，求d的最大值；
（2）θ取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A（4sinθ，6cosθ）和B（-4cosθ，6sinθ）兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡．

Answer 1

分析：（1）欲求d的最大值，即求出圓上一點(diǎn)何時(shí)到直線的距離最大，先將圓p=4和直線p（cosθ+

3

sinθ）=6的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，再結(jié)合直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)到直線的距離公式求解即得．
（2）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)A，B與點(diǎn)M坐標(biāo)之間的關(guān)系，得出其坐標(biāo)適合的參數(shù)方程，最終消去參數(shù)即可得到點(diǎn)M軌跡的普通方程．

解答：解：（1）將極坐標(biāo)方程p=4轉(zhuǎn)化為普通方程：x²+y²=16，
p（cosθ+

3

sinθ）=6可化為x+

3

y=6，
在x²+y²=16上任取一點(diǎn)A（4cosa，4sina），則點(diǎn)A到直線的距離為
d=

|4cosa+4 3 sina-6|

2

=

|8sin(a+30°)-6|

2

，它的最大值為7．
∴d的最大值為7．
（2）∵點(diǎn)M（x，y）是線段AB的中點(diǎn)，
∴x=

4sinθ-4cosθ

2

，y=

6cosθ+6sinθ

2

，
即 x=2sinθ-2cosθ，y=3cosθ+3sinθ
消去參數(shù)θ得

x2

8

+

y2

18

=1，
∴軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

x2

8

+

y2

18

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程、點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．