設(shè)函數(shù)f(x)=
2
x+2
,點(diǎn)A0表示原點(diǎn),點(diǎn)An=[n,f(n)](n∈N*).若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夾角[其中
i
=(1,0)]
,設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,則
lim
n→∞
Sn
=
3
4
2
3
4
2
分析:利用向量求和知識(shí)向量化簡(jiǎn)為=
.
A0
An
,利用向量夾角概念可得tanθn=
f(n)
n
=
2
n×(n+2)
,再利用數(shù)列裂項(xiàng)相消求和知識(shí)及極限運(yùn)算法則可得解.
解答:解:由向量求和知
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
=
.
A0
An

∵函數(shù) f(x)=
2
x+2
,點(diǎn)A0表示原點(diǎn),點(diǎn)An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
a
與向量
i
=(1,0)
的夾角,
∴tanθn=
f(n)
n
=
2
n×(n+2)
=
2
2
(
1
n
-
1
n+2
)
,
∴Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=
2
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

lim
n→∞
Sn=
3
2
4

故答案為
3
4
2
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限,主要考查向量與極限結(jié)合的綜合.涉及向量運(yùn)算的多邊形法則及向量夾角概念.考查數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消方法及極限運(yùn)算法則,有一定的綜合性.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+1x2+2

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若對(duì)一切x∈R,-3≤af(x)+b≤3,求a-b的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x
|x|+1
(x∈R)
,區(qū)間M=[a,b](其中a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},則使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•重慶三模)設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+3
3x-1
,則f-1(1)
=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x-3,x≥1
1-3x
x
,0<x<1
,若f(x0)=1,則x0等于( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案