Question

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g（x）=

2x

x+1

．
（1）若f（x）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（3）若對(duì)任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分離參數(shù)，利用基本不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先將函數(shù)f（x）的解析式進(jìn)行配方，然后討論對(duì)稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，可求出函數(shù)y=f（x）的最小值m（a），利用基本不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出g（x）的值域；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x）_min＞g（x）_max，建立關(guān)系式，解之即可求出a的范圍．

解答： 解：（1）由x²-2ax+4=0，可得2a=x+

4

x

，
∵x∈[1，3]，
∴2a∈[2，5]，
∴a∈[1，2.5]；
（2）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
得m（a）=

4-a2，1≤a＜2 8-4a，a≥2

，
g（x）=（x+1）+

1

x+1

-2，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，x+1∈[1，3]，
又g（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，故g（x）∈[0，

4

3

]．
（3）由題設(shè)，得f（x）_min＞g（x）_max，故

1≤a＜2 4-a2＞ 4 3

或

a≥2 8-4a＞ 4 3

解得1≤a＜

2 6

3

為所求的范圍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及函數(shù)單調(diào)性的判定，屬于中檔題．