Question

16．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，給出下列四個(gè)命題：
①對(duì)角線AC₁被平面A₁BD和平面B₁ CD₁三等分；
②正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的表面積之比為1：2：3；
③以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積都是$\frac{1}{6}$；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球在該正方體內(nèi)部部分的體積之比為6：π
其中正確命題的序號(hào)為①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)正方體的幾何特征，分別判斷各個(gè)命題的真假，可得結(jié)論．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，
故對(duì)角線AC₁=$\sqrt{3}$，
棱錐A-A₁BD的體積為：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$．
平面A₁BD的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故A到平面A₁BD的距離為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故對(duì)角線AC₁被平面A₁BD和平面B₁ CD₁三等分，
即①正確；
正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的半徑分別為：$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的表面積之比為1：2：3，
故②正確；
以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積為$\frac{1}{6}$或$\frac{1}{3}$；
故③錯(cuò)誤；
以A為球心，1為半徑的球在該正方體內(nèi)部部分的體積為$\frac{1}{8}•\frac{4}{3}π$=$\frac{1}{6}$π
故正方體與以A為球心，1為半徑的球在該正方體內(nèi)部部分的體積之比為6：π
故④正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正方體的幾何特征，難度中檔．