如圖,平面平面,四邊形為矩形,.為的中點(diǎn),.(1)求證:;(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
(1)證明見(jiàn)解析;(2).
解析試題分析:(1)本小題證明的是線線垂直,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直(線面垂直線線垂直),即證平面,從而有;(2)本小題可從傳統(tǒng)幾何方法及空間向量方法入手,法一:先證,為等邊三角形,取的中點(diǎn),連結(jié),,可證得為二面角的平面角,在三角形FMP中用余弦定理的推論完成求值;法二:利用空間向量解決面面角問(wèn)題,只需找到這兩個(gè)面的法向量,利用公式完成計(jì)算即可,但要注意本題面面角為鈍二面角.
試題解析:(1)證明:連結(jié),因,是的中點(diǎn),故.又因平面平面,故平面,于是.又,所以平面,所以,又因,故平面,所以.
(2)解法一:由(1),得.不妨設(shè),.因為直線與平面所成的角,故,所以,為等邊三角形.設(shè),則,分別為,的中點(diǎn),也是等邊三角形.取的中點(diǎn),連結(jié),,則,,所以為二面角的平面角.在中,,,故,即二面角的余弦值為.
解法二:取的中點(diǎn),以為原點(diǎn),,,所在的直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
已知:中,于,三邊分別是,則有;類(lèi)比上述結(jié)論,寫(xiě)出下列條件下的結(jié)論:四面體中,,的面積分別是,二面角的度數(shù)分別是,則 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=.
(1)若M為PA中點(diǎn),求證:AC∥平面MDE;
(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q(除去端點(diǎn)),使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐P—ABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求證:(1)直線PA∥平面DFE;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求證:PC⊥BC;
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且.
(1)求證:EF∥平面BDC1;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
在直三棱柱中,.有下列條件:
①;②;③.其中能成為
的充要條件的是(填上該條件的序號(hào))________。
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