Question

【題目】已知橢圓與直線y=x-2相切，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為M， 是橢圓的左右焦點(diǎn)，且⊿M為等腰直角三角形。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l過點(diǎn)N（0，-）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線MA、MB分別與橢圓的短軸為直徑的圓交于S，T兩點(diǎn)，求證：O、S、T三點(diǎn)共線。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由為等腰直角三角形可得，再由直線和橢圓相切并根據(jù)判別式可得，于是可得橢圓的方程．（2）由題意要證O、S、T三點(diǎn)共線，只需證明ST為圓的直徑即可，根據(jù)題意只需證明，通過計算得到即可．

試題解析：

（1）解：∵為等腰直角三角形，

∴，

∴橢圓的方程為．

由消去x整理得 ，

∵橢圓與直線相切，

∴

解得．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即．

（2）證明：由題意得直線AB的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去y整理得，

∵直線AB與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)點(diǎn)，

則，

又，

∴，

．

∴，

∴，

又圓的直徑為橢圓的短軸，故圓心為原點(diǎn)，

∴點(diǎn)三點(diǎn)共線．