Question

設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）確定的取值范圍，并求直線的方程；

（2）試判斷是否存在這樣的，使得四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）解法一：設(shè)直線的方程為，代入    

整理得      ①

設(shè)，，② 且

由是線段的中點(diǎn)，得，解得，代入②得

所以直線的方程為，即             （5分）

解法二：設(shè)，（點(diǎn)差）則有，

∵是線段的中點(diǎn)，

又在橢圓內(nèi)部，，即，

∴直線的方程為，即

（2）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052222354401565455/SYS201205222239048281790590_DA.files/image017.png">垂直平分，所以直線的方程為，

即，代入橢圓方程，整理得

設(shè)，的中點(diǎn)，

且，

即，由弦長(zhǎng)公式得③，

將直線的方程代入橢圓方程得④，

同理可得⑤                 （9分）

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以

假設(shè)存在，使四點(diǎn)共圓，則必為圓的直徑，點(diǎn)為圓心。

點(diǎn)到直線的距離⑥，

于是，

故當(dāng)時(shí)，在以為圓心，為半徑的圓上         （12分）

 

【解析】答案