【題目】在如圖所示的多面體中, 平面 , , , , , , , 是 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ 平面 , 平面 , 平面 ,
∴ , .又 ,
∴ , , 兩兩垂直.
以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 分別為 軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知得, , , , , , ,
∴ , .
∴ ,∴ .
(Ⅱ)由已知得 是平面 的法向量,
設(shè)平面 的法向量為 ,
∵ , ,
∴ ,即 ,令 ,得 ,
設(shè)平面 與平面 所成銳二面角的大小為 ,
則 .
∴平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)根據(jù)題意即可證明EB、EF、EA兩兩垂直以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)EB、EF、EA分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量進(jìn)而得到即可得證 B D ⊥ E G 。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo),設(shè)出平面DEF和平面DEG的法向量,由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量,再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足 ,記△ABP,△BCP,△ACP的面積依次為S1 , S2 , S3 , 則S1:S2:S3等于( )
A.1:2:3
B.1:4:9
C.2:3:1
D.3:1:2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 ,直線 的斜率之積為 .
(Ⅰ)求頂點(diǎn) 的軌跡方程 ;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線 ,點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為 ,且 點(diǎn)在曲線 上,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知 ( ).
(1)若 的解集為 ,求 的值;
(2)若對(duì)任意 ,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取 名同學(xué)(男 人,女 人),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)只能自由選擇其中一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表(單位:人):
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
附表及公式:
(1)能否據(jù)此判斷有 的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從選擇做幾何題的 名女生中,任意抽取兩人,對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩位女生被抽到的人數(shù)為 ,求 的分布列和 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 在 處的切線方程;
(Ⅱ)試判斷函數(shù) 零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若 的平均數(shù)為3,標(biāo)準(zhǔn)差為4,且 , ,則新數(shù)據(jù) 的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )
A.-9 12
B.-9 36
C.3 36
D.-3 12
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