Question

已知圓心為P的動圓過點（2，0）且與直線l：x=-2相切．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線與點P的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點，若AO，BO所在直線分別與直線y=x+4交于E，F(xiàn)，求|EF|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設點P（x，y），依據(jù)題意，點P（x，y）到直線x=-2和到點（2，0）的距離相等，由此能求出點P的軌跡．（Ⅱ）設過（1，0）的直線為m：x=ty+1，與y²=8x聯(lián)立，得y²-8ty-8=0，設A（a，b），B（c，d），（a，b，c，d≠8），則b+d=8t，bd=-8，a=

1

8

b2，c=

1

8

d2，直線OA的斜率

b

a

=

8

b

，直線OA：y=

8

b

x，代入y=x+4，得（

8

b

-1）x=4，交點E的橫坐標為：x_E=

4b

8-b

，同理交點F的橫坐標x_F=

4d

8-d

，由此能求出|EF|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設點P（x，y），依據(jù)題意，點P（x，y）到直線x=-2和到點（2，0）的距離相等
所以：x-（-2）=

(x-2)2+(y-0)2

，x＞-2，
兩邊平方得：
x²+4x+4=x²-4x+4+y²，
所以y²=8x，
所以點P的軌跡為拋物線y²=8x．
（Ⅱ）設過（1，0）的直線為m：x=ty+1，與y²=8x聯(lián)立，
消去x，得：y²=8ty+8，即y²-8ty-8=0，
設A（a，b），B（c，d），（a，b，c，d≠8），
則b+d=8t，bd=-8，a=

1

8

b2，c=

1

8

d2，直線OA的斜率

b

a

=

8

b

，
直線OA：y=

8

b

x，代入y=x+4，得（

8

b

-1）x=4，
交點E的橫坐標為：x_E=

4b

8-b

，同理交點F的橫坐標x_F=

4d

8-d

，
∴|x_E-x_F|=|

4b

8-b

-

4d

8-d

|
=4|

8(b-d)

64-8(b+d)+bd

|
=4•

8 (b-d)2

|64-8•8t-8|

=4•

(b+d)2-4bd

|7-8t|

=4•

64t2+32 (7-8t)2

，（7-8t=

1

s

，t=

7

8

-

1

8s

）
=4•

s2[64( 7 8 - 1 8s )2+32]

=4•

81s2-14s+1

=4•

81s2-14s+1

=4•

81(s- 7 81 )2+ 32 81

≥

16 2

9

，
|x_E-x_F|_min=

2

•|xE-xF|min=

32

9

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查線段長最小值的求法，解題時要認真審題，注意兩點距離公式的合理運用．