Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+x+m．
（1）若函數(shù)f（x）的值域是[2，+∞），試確定m的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|x+1|，且當(dāng)x≤3時(shí)，g（x）≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）寫出分段函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)f（x）的值域是[2，+∞）求得m的值；
（2）把當(dāng)x≤3時(shí)，g（x）≥f（x）恒成立轉(zhuǎn)化為m≤|x+1|-|x-2|-x當(dāng)x≤3時(shí)恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)
t（x）=|x+1|-|x-2|-x（x≤3），分段求其最小值后得答案．

解答： 解：（1）f（x）=|x-2|+x+m=

2x+m-2，x≥2 m+2，x＜2

，
∵函數(shù)f（x）=2x+m-2為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有最小值為m+2，
∴函數(shù)f（x）的值域是[m+2，+∞），
又函數(shù)f（x）的值域是[2，+∞），
∴m=0；
（2）∵f（x）=|x-2|+x+m，g（x）=|x+1|，且當(dāng)x≤3時(shí)，g（x）≥f（x）恒成立，
即|x+1|≥|x-2|+x+m當(dāng)x≤3時(shí)恒成立，
也就是m≤|x+1|-|x-2|-x當(dāng)x≤3時(shí)恒成立，
令t（x）=|x+1|-|x-2|-x（x≤3），
則t（x）=

-3-x，x＜-1 x-1，-1≤x＜2 3-x，x≥2

，
∵x≤3，
∴t（x）_min=-2．
∴m≤-2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．