Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x+5}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的極大值；
（2）求f（x）在區(qū)間（-∞，0]上的最小值；
（3）若x²+5x+5-ae^x≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在閉區(qū)間的最小值即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$a≤\frac{{{x^2}+5x+5}}{e^x}=f（x）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上有最小值-e³，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）${f^'}（x）=\frac{-x（x+3）}{e^x}$…（1分）
當(dāng)x＜-3時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0…（3分）
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-3）上為單調(diào)遞減函數(shù)
在（-3，0）上為單調(diào)遞增函數(shù)
在（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)…（4分）
因此函數(shù)f（x）在x=0處有極大值f（0）=5     …（5分）
（2）由（1）得函數(shù)f（x）在（-∞，-3）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
在（-3，0）上為單調(diào)遞增函數(shù)
所以函數(shù)f（x）在x=-3處有最小值f（-3）=-e³…（7分）
（3）$a≤\frac{{{x^2}+5x+5}}{e^x}=f（x）$…（9分）
由（2）得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上有最小值-e³…（10分）
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0  …（11分）
所以函數(shù)f（x）在定義域中的最小值為-e³，所以a≤-e³
即a的取值范圍為（-∞，-e³]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．