Question

（2011•南寧模擬）過點(diǎn)M（4，2）作X軸的平行線被拋物線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長(zhǎng)為4

2

（I ）求拋物線C的方程；（II）過拋物線C上兩點(diǎn)A，B分別作拋物線C的切線l₁，l₂（i）若l₁，l₂交點(diǎn)M，求直線AB的方（ii）若直線AB經(jīng)過點(diǎn)M，記l₁，l₂的交點(diǎn)為N，當(dāng)S△ABN=28

7

時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I ）直接把條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（2

2

，

2

）在拋物線x²=2py上，代入拋物線方程即可求出p，進(jìn)而得到拋物線C的方程；
（II）先把直線AB的方程y=kx+b與拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)與k，b的關(guān)系，再求出拋物線方程的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出在A，B兩點(diǎn)處的切線方程以及交點(diǎn)坐標(biāo)．
    （i）直接把所求交點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)M（4，2）相結(jié)合即可求出k，b的值，進(jìn)而求出直線AB的方程；
     （ii）先利用直線AB經(jīng)過點(diǎn)M求得4k+b=2，代入可得l₁，l₂的交點(diǎn)N的坐標(biāo)；利用弦長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)N到直線AB的距離，把求出結(jié)論代入S△ABN=28

7

，即可求出k，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（I ）由已知得點(diǎn)（2

2

，

2

）在拋物線x²=2py上，
代入得8=4p，故p=2，
所以x²=4y．
（II）設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），直線AB方程為y=kx+b，
由

y=kx+b x2=4y

得，
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．
又y=

1

4

x2，求導(dǎo)得y^′=

x

2

．
故拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為

x1

2

，

x2

2

．
故在A，B兩點(diǎn)處的切線方程為l₁：y=

x1

2

x-

x12

4

和l_2：：y=

x2

2

x-

x22

4

，
于是l₁與l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

x1•x2

4

），即為（2k，-b）．
（i）∵l₁，l₂交點(diǎn)M
∴

2k=4 -b=2

⇒

k=2 b=-2

，故直線AB的方程為2x-y-2=0．
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2．
且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8．
故l₁與l₂交點(diǎn)N坐標(biāo)為（2k，4k-2）．
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂=4

(1+k2)(k2-4k+2)

|，
點(diǎn)N到直線AB的距離d=

2|k2-4k+2|

1+k2

．
故S_△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

，
即

k2-4k+2

=

7

，得k=-1或5，
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，-6）或（10，18）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．本題第二問涉及到弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用以及點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，提醒我們注意知識(shí)的熟練掌握和運(yùn)用．