圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面三角形是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形，并且三棱柱底面是正三角形，如果圓柱的體積是16π，底面直徑與母線長(zhǎng)相等，那么三棱柱的體積為
 
．
分析：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r，其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為a，由圓柱的體積求出r，根據(jù)正弦定理求出a，代入棱柱的體積公式計(jì)算．
解答：解：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r，其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為a，
由圓柱的體積是16π，
則π×r2×2r=16π，
∴r=2，
∵
a
sin60°
=2r=4，
∴a=2
3
，
∴三棱柱的體積V=
1
2
×2
3
×2
3
×
3
2
×4=12
3
．
故答案是：12
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題借助接體考查了圓柱與棱柱的體積計(jì)算，解答的關(guān)鍵是由圓的半徑求出其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)．
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（本題滿分13分）如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為．

（�。┊�(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；

（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．

 

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（本題滿分12分）

如圖，軸截面為邊長(zhǎng)是2的正方形的圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且是圓的直徑．

（1）求三棱柱的體積；

（2）證明：平面⊥平面

 

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