Question

11．某重點高中擬把學校打造成新型示范高中，為此制定了很多新的規(guī)章制度，新規(guī)章制度實施一段時間后，學校就新規(guī)章制度的認知程度隨機抽取100名學生進行問卷調查，調查卷共有20個問題，每個問題5分，調查結束后，發(fā)現(xiàn)這100名學生的成績都在[75，100]內，按成績分成5組：第1組[75，80），第2組[80，85）第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙、丙上分別在第3，4，5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人對新規(guī)取章制度作深入學習．
（1）求這100人的平均得分（同-組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（2）求第3，4，5組分別選取的人數(shù)；
（3）若甲、乙、丙都被選取對新規(guī)章制度作深人學習，之后要從這6人隨機選取人2再全面考查他們對新規(guī)章制度的認知程度，求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖能求出這100人的平均得分．
（2）第3組的人數(shù)為30，第4組的人數(shù)為20，第5組的人數(shù)為10，共有60人，由此能示出用分層抽樣在這三個組選取的人數(shù)．
（3）記其他人為、丁、戊、己，利用列舉法能求出甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率．

解答 解：（1）這100人的平均得分為：
$\overline x=5×（{\frac{75+80}{2}×0.01+\frac{80+85}{2}×0.07+\frac{85+90}{2}×0.06+\frac{90+95}{2}×0.04+\frac{95+100}{2}×0.02}）=87.25$．
（2）第3組的人數(shù)為0.06×5×100=30，
第4組的人數(shù)為0.04×5×100=20，
第5組的人數(shù)為0.02×5×100=10，故共有60人，
∴用分層抽樣在這三個組選取的人數(shù)分別為：3，2，1．
（3）記其他人為、丁、戊、己，
則所有選取的結果為（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、
（乙、丙）、（乙、�。�、（乙、戊）、（乙、己 ）、（丙、�。�、（丙、戊）、（丙、己）、
（丁、戊）、（丁、己 ）、（戊、己）共15種情況，
其中甲、乙、丙這3人至多有一人被選取有12種情況，
故甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率為$P=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣、古典概型等知識點，解題的關鍵是列出所有可能的組合，再去根據(jù)相關的定義和公式進行求解和計算．