Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞e²恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．
（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得k＜

f(x)

x-1

對k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞e²恒成立，由此利用構(gòu)造法結(jié)合導數(shù)性質(zhì)能求出整數(shù)k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）
因為函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e處的切線斜率為3，
所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，
所以，a=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，
所以，k＜

f(x)

x-1

對任意x＞e²恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞e²恒成立．…（5分）
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

…（6分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞e²），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函數(shù)h（x）在（e²，+∞）上單調(diào)遞增…（8分）
所以h（x）＞h（e²）=e²-4＞0，可得g'（x）＞0
故函數(shù)g(x)=

x+xlnx

x-1

在（e²，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g(x)＞g(e2)=

3e2

e2-1

=3+

3

e2-1

∈(3，4)…（11分）
∴k≤g（e²）．
故整數(shù)k的最大值是3．…（12分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查整數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．