【題目】已知拋物線C: ,點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P與拋物線C的焦點(diǎn)F的距離;
(2)設(shè)斜率為l的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)若△PAB的面積為,求直線l的方程;
(3)是否存在定圓M: ,使得過曲線C上任意一點(diǎn)Q作圓M的兩條切線,與曲線C交于另外兩點(diǎn)A,B時(shí),總有直線AB也與圓M相切?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)P(1,0),距離為5;(2)y=x﹣1;(3)Q,存在實(shí)數(shù)m=3,使得直線AB與圓M相切.
【解析】
(1)求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)距離公式,計(jì)算可得所求距離;
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+a,代入拋物線的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式,解方程可得a,進(jìn)而得到直線方程;
(3)取Q(0,0),切線為y=kx,求得切點(diǎn)A,B,和直線AB,由相切可得m=3,證明對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q,直線AB與圓相切,必有m=3.設(shè)Q(a2,a),l:x=t(y﹣a)a2,A(y12,y1),B(y22,y2),運(yùn)用直線和圓相切的條件和韋達(dá)定理,求得AB的方程,計(jì)算圓心到直線AB的距離,即可得證.
(1)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),
則點(diǎn)P與拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為5;
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+a,
把y=x+a方程代入拋物線y2=4x,
可得x2+2(a﹣2)x+a2=0,
∴x1+x2=4﹣2a,x1x2=a2,
∴|AB||x1﹣x2|
4,
點(diǎn)P到直線的距離d,
∴S△PAB|AB|d
42,
解得a=﹣1,
∴直線l的方程y=x﹣1;
(3)取Q(0,0),圓(x﹣m)2+y2=4,切線為y=kx,
由2,解得k2,①
將直線y=kx代入拋物線方程y2=4x,
解得A(,),B(,),
直線AB的方程為x,
若直線和圓相切,可得|m|=2②
由①②解得m=3或2(舍去).
綜上可得,對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q,直線AB與圓相切,必有m=3.
下證m=3時(shí),對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q,直線AB和圓相切.
理由如下:設(shè)Q(a2,a),l:x=t(y﹣a)a2,A(y12,y1),B(y22,y2),
由2,可得(a2﹣4)t2﹣(a2﹣6)at+(a2﹣3)2﹣4=0,
∴t1+t2,t1t2,
又直線與曲線相交于A,B,
由x=t(y﹣a)a2,代入拋物線方程可得y2﹣4ty+4ta﹣a2=0,
可得y12=4t1(y1﹣a)+a2,y22=4t2(y2﹣a)+a2,
則a,y1是方程y2=4t1(y﹣a)+a2的兩根,
即有ay1=4t1a﹣a2,即為y1=4t1﹣a,同理y2=4t2﹣a.
則有A((4t1﹣a)2,4t1﹣a),B((4t2﹣a)2,4t2﹣a),
直線AB:y﹣(4t1﹣a)(x(4t1﹣a)2),
即為y﹣(4t1﹣a)(x(4t1﹣a)2),
則圓心(3,0)到直線AB的距離為
d,
由(a2﹣4)t12﹣(a2﹣6)at1+(a2﹣3)2﹣4=0,
代入上式,化簡(jiǎn)可得d2,
則有對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q,存在實(shí)數(shù)m=3,使得直線AB與圓M相切.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),直線:,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足:,.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率,一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)在直線上,若直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),直線的斜率為,直線的斜率為.
(1)求該橢圓的方程.
(2)若,試問的面積是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】紙張的規(guī)格是指紙張制成后,經(jīng)過修整切邊,裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國(guó)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn),規(guī)定以、、、、、等標(biāo)記來表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用系列和系列,其中系列的幅面規(guī)格為:①、、、、所有規(guī)格的紙張的幅寬(以表示)和長(zhǎng)度(以表示)的比例關(guān)系都為;②將紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為規(guī)格,紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為規(guī)格,…,如此對(duì)開至規(guī)格.現(xiàn)有、、、、紙各一張.若紙的寬度為,則紙的面積為________;這張紙的面積之和等于________.
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【題目】己知函數(shù).(是常數(shù),且()
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)在處取得極值時(shí),若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)求證:當(dāng)時(shí).
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【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
C. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
D. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
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A. 24B. 16C. 8D. 12
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