Question

14．已知動圓M過定點F（0，1），且與x軸相切，點F關于圓心M的對稱點為F′，點F′的軌跡為C
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點（-4，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點，求線段AB的垂直平分線的縱截距的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出F′的坐標，求得FF′的中點坐標，由題意可知，$\sqrt{（\frac{x}{2}）^{2}+（\frac{y+1}{2}-1）^{2}}$=丨$\frac{y+1}{2}$丨，化簡求得曲線方程；
（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在且不為零，設出直線方程，并代入拋物線方程，求得關于x的一元二次方程，利用韋達定理和中點坐標公式，表示x₀和y₀，求得AB的中垂線方程，求得截距，利用△＞0，求得k的取值范圍，即可求得b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設F′（x，y），則FF′的中點坐標M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y+1}{2}$），
又圓M過點F，且與x軸相切，
∴$\sqrt{（\frac{x}{2}）^{2}+（\frac{y+1}{2}-1）^{2}}$=丨$\frac{y+1}{2}$丨，
化簡得：x²=4y即為所求，
故曲線C的方程為x²=4y，
（Ⅱ）由題意可知：滿足題意得直線斜率存在且不為零，
設l：y=k（x+4），AB的中點坐標為（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，得x²-4kx-16k=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-16k，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k，
y₀=k（x₀+4）=2k²+4k，
∴線段AB的中垂線在y軸上的截距為：b=2k²+4k+2=2（k+1）²，
對于方程由△=16k²+64k＞0，得k＞0或k＜-4，
∴b∈（2，+∞），
故b的取值范圍為：（2，+∞）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意線段中垂直線定理的合理運用，屬于中檔題．