Question

10．已知f（x）=x³-3x+2+m（m＞0）．在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實數(shù)a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是（　　）

• A． m＞4+4$\sqrt{2}$
• B． 0＜m＜2+2$\sqrt{2}$
• C． 4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$
• D． 0＜m＜4+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用導數(shù)求得f（x）=x³-3x+2+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上的最小值、最大值，由題意構(gòu)造不等式解得范圍．

解答 解：∵f（x）=x³-3x+2+m，
∴求導f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]內(nèi)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞增，
則f（x）_min=f（1）=m，f（x）_max=f（2）=m+4，f（0）=m+2．
∵在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實數(shù)a，b，c，
使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是構(gòu)成直角三角形，
要滿足題意，只需2f（x）²min＜f（x）²max
即2m²＜（m+4）²，即m²-8m-16＜0，解得4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$，
又已知m＞0，∴0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查實數(shù)值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．