Question

14．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（x∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+log₂₀₁₆x₃+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅的值為-1．

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線方程，取y=0求得x_n，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得答案．

解答 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，∴y′|_x=1=n+1，
∴曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
取y=0，得x_n=$\frac{n}{n+1}$．
∴x₁x₂x₃•…•x₂₀₁₅=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{2015}{2016}$=$\frac{1}{2016}$
則log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅=log₂₀₁₆（x₁x₂x₃•…•x₂₀₁₅）=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．