Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）•f（q），f（1）=2，則：

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(3)

+

f(6)

f(5)

+

f(8)

f(7)

+…+

f(2014)

f(2013)

=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（p+q）=f（p）f（q），令q=1，則有

f(p+1)

f(p)

=f（1）=2，然后依次算出所求的項，即可求出結(jié)果．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（p+q）=f（p）•f（q），
∴令q=1，則f（p+1）=f（p）f（1），
∴

f(p+1)

f(p)

=f（1），
又∵f（1）=2，
∴

f(p+1)

f(p)

=2，
∴

f(2)

f(1)

=2，

f(4)

f(3)

=2，…，

f(2014)

f(2013)

=2，
∴

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(3)

+

f(6)

f(5)

+

f(8)

f(7)

+…+

f(2014)

f(2013)

=2+2+…+2=2×1007=2014，
∴：

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(3)

+

f(6)

f(5)

+

f(8)

f(7)

+…+

f(2014)

f(2013)

=2014．
故答案為：2014．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是進行合理的賦值，利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值．考查了根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)進行靈活變形，合理轉(zhuǎn)化證明的能力，本題對靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高．屬于中檔題．