Question

11．△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中a，b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，且cos（A+B）=$\frac{1}{2}$．
（1）求角C的度數(shù)；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）已知等式表示求出cosC的值，確定出C的度數(shù)；
（2）由a，b為已知方程的解，利用韋達(dá)定理求出a+b與ab的值，利用余弦定理求出c的值即可；
（3）由ab，sinC的值，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答 解：（1）依題意得，cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
（2）∵a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩個(gè)根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=12-4-2=6，
∴c=$\sqrt{6}$；
（3）由（1）（2）知C=$\frac{π}{3}$，ab=2，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，韋達(dá)定理，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．