Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）-2=0$，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=cosθ，將曲線C上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線C₁．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C₁交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（2，0），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：y²=x，通過變換可得曲線C₁的方程．
（II）直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）-2=0$，展開可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）-2=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0，利用|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：y²=x．
將曲線C上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線C₁：y²=2（x-1）．
（II）直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）-2=0$，展開可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）-2=0，可得直角坐標(biāo)方程：x+y-2=0．
可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0．
解得t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-4．．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}-4×（-4）}$=$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線參數(shù)方程及其應(yīng)用、相交弦長公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．