Question

對于定義域為的函數(shù)，如果同時滿足以下三條：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)．
(1) 若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；
(2)判斷函數(shù)是否為理想函數(shù)，并予以證明；
(3) 若函數(shù)為理想函數(shù)，假定，使得，且，求證：．

Answer 1

（1）．（2）理想函數(shù)．      

本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)的中的隱含條件，注意性質(zhì)的靈活運用．
（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．
（2）g（x）=2x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0，也滿足條件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x₁+x₂≤1，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數(shù)．
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x₀）=x₀