Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（2ωx-

π

3

）+b，且該函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，且當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，f（x）的最大值為1．
（1）求f（x）的函數(shù)的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在[0，

π

3

]上恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用利用函數(shù)的周期確定ω的值，利用定義域確定b的值進一步確定函數(shù)的解析式．
（2）利用整體思想確定單調(diào)區(qū)間．
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，若f（x）_max-3≤m≤f（x）_min+3在[0，

π

3

]上恒成立即可．進一步求出m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sin（2ωx-

π

3

）+b，且該函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，
則：T=π，
ω=1，
所以：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）+b，
當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

π

3

，
f(x)max=

3

2

+b，
f（x）的最大值為1，
解得：b=-

1

2

，
函數(shù)的解析式為：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）-

1

2

．
（2）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．
（3）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在[0，

π

3

]上恒成立，
只需滿足：若f（x）_max-3≤m≤f（x）_min+3在[0，

π

3

]上恒成立即可，
故解得：-2≤m≤2．

點評：本題考查的知識要點：利用函數(shù)的周期確定ω的值，利用定義域確定b的值進一步確定函數(shù)的解析式，利用整體思想確定單調(diào)區(qū)間，恒成立問題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．