已知函數(shù)f(x)=log2
x-1x+1
,g(x)=2ax+1-a,又h(x)=f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)試討論h(x)的奇偶性;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=log2g(x)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)真為大于0,構(gòu)造關(guān)于x的不等式,解不等式可得答案.
(2)根據(jù)已知可分a=1和a≠1時(shí)兩種情況,分別討論h(-x)+h(x)與h(-x)-h(x)與0的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得答案
(3)方程f(x)=log2g(x)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,即
x-1
x+1
=2ax+1-a在(-∞,-1)∪(1,+∞)上有兩個(gè)不等的根,即a=-
2
2x2+x+1
在(-∞,-1)∪(1,+∞)上有兩個(gè)不等的根,借助函圖象易分析出a的取值范圍.
解答:解:(1)要使函數(shù)f(x)=log2
x-1
x+1
的解析式有意義
x-1
x+1
>0
解得x<-1,或x>1
即函數(shù)f(x)=log2
x-1
x+1
的定義域?yàn)椋?∞,-1)∪(1,+∞),
(2)當(dāng)a=1時(shí),h(x)=f(x)+g(x)=log2
x-1
x+1
+2x,
∵h(yuǎn)(-x)+h(x)=0,
∴h(x)為奇函數(shù);
當(dāng)a≠1時(shí),h(x)=f(x)+g(x)=log2
x-1
x+1
+2ax+1-a,
∵h(yuǎn)(-2)+h(2)=2-2a≠0
故h(x)為非奇函數(shù)
令h(-3)-h(3)=12a-2=0,則a=
1
6

此時(shí),h(-2)-h(2)≠0
故h(x)為非偶函數(shù)
綜上h(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);
(3)f(x)=log2g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于
x-1
x+1
=2ax+1-a在(-∞,-1)∪(1,+∞)上有兩個(gè)不等的根;
即a=-
2
2x2+x-1
在(-∞,-1)∪(1,+∞)上有兩個(gè)不等的根;
由y=-
2
2x2+x-1
在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的圖象可得

a的取值范圍-1<a<0
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)鍵,函數(shù)的定義域,函數(shù)的奇偶性,其中(3)中將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與y=a交點(diǎn)的個(gè)數(shù),并用圖象法進(jìn)行解答是轉(zhuǎn)化思想是解非基本方程是的重要應(yīng)用.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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