Question

（本題滿分12分）已知a為常數(shù)，且a≠O，函數(shù)f(x)=ax+axlnx+2.

  (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

  (2)當(dāng)a=1時(shí)，若直線y=t與曲線y=f(x)（z∈[]有公共點(diǎn)，求t的取值范圍，

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1)f(x)＝－ax＋2＋axlnx.    定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052418004857818805/SYS201205241802256562455048_DA.files/image002.png">

f′(x)＝alnx. …………………… 2分

因?yàn)?i>a≠0，故：

①當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0<x<1；　

②當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1.　

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)． ……… 6分

 

(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.

由(1)可得，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

 

x	1/e	（1/e,1）	1	(1，e)	e
f′(x)		－	0	＋
f(x)	2－2/e	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	2

又2－2/e<2，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,2]． …………………… 10分

 

∵直線y＝t與曲線y＝f(x)總有公共點(diǎn)；

∴t的取值范圍是． ………………………………… 12分

 

【解析】略