已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．
（Ⅰ）∵橢圓E的離心率e=
3
2
，
∴
a2-1
a
=
3
2
，
解得a=2，
故橢圓E的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）聯(lián)立方程
x2
4
+y2=1
x=2t
，得
x=2t
y=±
1-t2
，
即M，N的坐標分別為（2t，
1-t2
），（2t，-
1-t2
），
∵圓C的直徑為MN，且與y軸相切，
∴2t=
1-t2
，∵t＞0，∴t=
5
5
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面積S=
1
2
×2t×2
1-t2
≤2×
t2+1-t2
2
=1，
當且僅當t=
1-t2
即t=
2
2
時，等號成立，
故△OMN的面積的最大值為1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+y2=1，其右焦點為F，直線l經(jīng)過點F與橢圓交于A，B兩點，且|AB|=
4
2
3
．
（1）求直線l的方程；
（2）求△OAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)拋物線y2=2px（p為常數(shù)）的準線與X軸交于點K，過K的直線l與拋物線交于A、B兩點，則
OA
•
OB
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過點（-3，2），⊙O的圓心為原點，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線y=-x+m與曲線y=
5-
1
4
x2
只有一個公共點，則m的取值范圍是（　�。�
A．-1≤m＜2B．-2
5
≤m≤2
5
C．-2≤m＜2或m=5D．-2
5
≤m≤2
5
或m=5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點，若點C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點M，N，當
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓
x2
4
+y2=1共焦點，它們的離心率之和為
3
3
2
；
（1）求橢圓與雙曲線的離心率e1、e2；
（2）求雙曲線的標準方程與漸近線方程；
（3）已知直線l：y=
1
2
x+m與橢圓有兩個交點，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1，點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，Q為射線F1P延長線上一點，且|PQ|=|PF2|，設(shè)R為F2Q的中點．
（1）當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4
2
）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a＞0，b≠0），且交拋物線y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點．
（1）寫出直線l的截距式方程；
（2）證明：
1
y1
+
1
y2
=
1
b
；
（3）當a=2p時，求∠MON的大�。�

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