Question

1．已知函數(shù)f（x）=x+|mx-1|（m＞0）．
（1）當m=1時，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若方程f（x）=$\frac{1}{3}$有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當m=1時，不等式f（x）＜2可化為x+|x-1|＜2，分類討論，去掉絕對值符合，即可求不等式f（x）＜2的解集；
（2）方程f（x）=$\frac{1}{3}$可轉(zhuǎn)化為|mx-1|=$\frac{1}{3}$-x，利用方程f（x）=$\frac{1}{3}$有兩個不同的實數(shù)根，得出-m＜-1且$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{3}$，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當m=1時，不等式f（x）＜2可化為x+|x-1|＜2，
x≤1時，原不等式可化為：x-x+1＜2，恒成立；
x＞1時，原不等式可化為：x+x-1＜2，解得：x＜1.5，
∴1＜x＜1.5．
綜上所述，x＜1.5，
∴不等式f（x）＜2的解集為{x|x＜1.5}；
（2）方程f（x）=$\frac{1}{3}$可轉(zhuǎn)化為|mx-1|=$\frac{1}{3}$-x，mx-1=0的根為$\frac{1}{m}$，y=$\frac{1}{3}$-x的斜率為-1．
∵方程f（x）=$\frac{1}{3}$有兩個不同的實數(shù)根，
∴-m＜-1且$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{3}$，
∴m＞3．

點評 本題考查不等式的解法，考查方程根的問題，正確轉(zhuǎn)化是關鍵．