【題目】選修4-5:不等式選講

已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時,正數(shù)滿足,證明: .

【答案】(1) 當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

(2)證明見解析.

【解析】分析:(1)分析單調(diào)性首先確定定義域,然后求導(dǎo)得,再確定分子的符號即可得出單調(diào)性,此時二次函數(shù)的對稱軸未知所以可結(jié)合二次函數(shù)圖形進(jìn)行分析討論;(2)因?yàn)楫?dāng)時,,由(1)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增.又易知,且,不妨設(shè),要證,只需證,只需證,即證,即證.構(gòu)造函數(shù),.分析函數(shù)單調(diào)性求出最值即可.

詳解:

(1)解:的定義域?yàn)?/span>

,

,.

①當(dāng)時,

所以恒成立,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時,,令,得.

(i)當(dāng)時,,

所以恒成立,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)時,.

,函數(shù)單調(diào)遞增;

,函數(shù)單調(diào)遞減;

,,函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述:當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時,在單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減.

(2)證明:當(dāng)時,,由(1)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又易知,且,不妨設(shè),

要證,只需證,

只需證,即證,

即證.

構(gòu)造函數(shù).

所以 ,

.

當(dāng)時,,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

.

所以得證,從而.

練習(xí)冊系列答案
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