已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N+)為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5,則
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
=( 。
分析:令bn=log2(an-1),(n∈N+),依題意可求得bn=n,于是可得an=2n+1,從而可求得
1
an+1-an
=
1
2n
,利用等比數(shù)列的求和公式即可得到答案.
解答:解:令bn=log2(an-1),(n∈N+),依題意{bn}為等差數(shù)列,
∵a1=3,a2=5,
∴b1=log2(3-1)=1,b2=log2(5-1)=2,
∵{bn}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則d=1,
∴bn=n,
∴an=2n+1,
1
an+1-an
=
1
(2n+1+1)-(2n+1)
=
1
2n
,
顯然{
1
2n
}是首項(xiàng)為
1
2
,公比為
1
2
的等比數(shù)列,
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+
1
a4-a3
+…+
1
an+1-an
=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n

=
1
2
(1-(
1
2
)
n
)
1-
1
2
=1-(
1
2
)
n

故選C.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的求和,根據(jù)題意求得an=2n+1是關(guān)鍵,考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5,則
lim
n→∞
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
)=(  )
A、2
B、
3
2
C、1
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求使
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
2012
2013
成立的最小正整數(shù)n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•撫州模擬)已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5,則
lim
n→∞
(
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
)
=
1
1

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