Question

18．如圖，四邊形ABCD為矩形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2AE=2EF=4．
（1）設(shè)G為BC的中點(diǎn)，求證：FG∥平面BDE；
（2）求證：AF⊥平面FBC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AC、BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)OE、OG．矩形ABCD中，證出OG=$\frac{1}{2}$AB且OG∥AB，結(jié)合題意可得EF∥OG且EF=OG，得四邊形EFGO是平行四邊形，從而得到FG∥EO結(jié)合線面平行判定定理，即可得出FG∥平面BDE；
（2）由EA⊥平面ABCD和BC⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)證出BC⊥平面ABEF，從而AF⊥BC．直角梯形中，利用題中數(shù)據(jù)算出AF²+BF²=16=AB²，從而可得AF⊥BF，再由BF、BC是平面FBC內(nèi)的相交直線，可證出AF⊥平面FBC

解答 解：（1）設(shè)直線AC、BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)OE、OG，
∵矩形ABCD中，O是AC的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)
∴OG是△ABC的中位線，可得OG=$\frac{1}{2}$AB且OG∥AB
又∵EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥OG且EF=OG，可得四邊形EFGO是平行四邊形
由此可得FG∥EO
∵FG?平面BDE，OE?平面BDE，
∴FG∥平面BDE；
（2）∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴EA⊥BC
又∵BC⊥AB，AB∩EA=A，∴BC⊥平面ABEF
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC
∵直角梯形AEFB中，AB=4，AE=EF=2
∴AF=BF=2$\sqrt{2}$，可得AF²+BF²=16=AB²，
∴△ABF是以AB為斜邊的直角三角形，可得AF⊥BF
∵BF、BC是平面FBC內(nèi)的相交直線
AF⊥平面FBC．

點(diǎn)評(píng) 本題給出底面為正方形、一個(gè)側(cè)面為直角梯形的多面體，求證線面平行和線面垂直．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和線面平行判定定理等知識(shí)，屬于中檔題．