【題目】函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在閉區(qū)間[a,b]D,使得函數(shù)f(x)滿足:①f(x)在[a,b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②f(x)在[a,b]上的值域為[2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]為y=f(x)的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有( ) ①f(x)=x2(x≥0);
②f(x)=ex(x∈R);
③f(x)= (x≥0);
④f(x)= .
A.①②③④
B.①②④
C.①③④
D.①③
【答案】C
【解析】解:函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”,則:①f(x)在[a,b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);② 或 ①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值區(qū)間”[a,b],則 ,∴ ∴
∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值區(qū)間”[0,2];
②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值區(qū)間”[a,b],則 ,∴
構(gòu)建函數(shù)g(x)=ex﹣2x,∴g′(x)=ex﹣2,
∴函數(shù)在(﹣∞,ln2)上單調(diào)減,在(ln2,+∞)上單調(diào)增,
∴函數(shù)在x=ln2處取得極小值,且為最小值.
∵g(ln2)=2﹣2ln2>0,∴g(x)>0恒成立,∴ex﹣2x=0無解,故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”;
③ , =
若存在“倍值區(qū)間”[a,b][0,1],則 ,∴ ,∴a=0,b=1,若存在“倍值區(qū)間”[0,1];
④ .不妨設(shè)a>1,則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)
若存在“倍值區(qū)間”[m,n],則 ,必有 ,
必有m,n是方程 的兩個根,
必有m,n是方程 的兩個根,
由于 存在兩個不等式的根,故存在“倍值區(qū)間”[m,n];
綜上知,所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④
故選C.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零,以及對函數(shù)的值域的理解,了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(,0)和相鄰的最低點(diǎn)為Q(,-2),則f(x)的解析式( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知圓:,圓:,動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切,圓心軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若是曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn),點(diǎn),直線交曲線
于另一點(diǎn),求證:直線過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2019·清遠(yuǎn)期末]一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān),現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中,根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如下:
溫度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
產(chǎn)卵數(shù)/個 | 5 | 20 | 100 | 325 |
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(數(shù)字保留2位小數(shù));
(3)要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50,則溫度控制在多少以下?(最后結(jié)果保留到整數(shù))
參考數(shù)據(jù):,,,,,,,,,,
5 | 20 | 100 | 325 | |
1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |
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【題目】矩形ABCD的面積為4,如果矩形的周長不大于10,則稱此矩形是“美觀矩形”.
(1)當(dāng)矩形ABCD是“美觀矩形”時,求矩形周長的取值范圍;
(2)就矩形ABCD的一邊長x的不同值,討論矩形是否是“美觀矩形”?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣3≤x≤5)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分圖象如圖所示,若 ,且f(x1)=f(x2)(x1≠x2),則f(x1+x2)=( )
A.1
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股方圓圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股方圓圖”中,四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角,現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是( )
A. B. C. D.
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