【題目】在直角坐標(biāo)系中,
,動點(diǎn)
滿足:以
為直徑的圓與
軸相切.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
,直線
過點(diǎn)
且與
交于
兩點(diǎn),當(dāng)
與
的面積之和取得最小值時(shí),求直線
的方程.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】試題分析:(1)設(shè)點(diǎn),圓心
,由圓與
軸相切于點(diǎn)
,得|
,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式整理可得點(diǎn)P的軌跡方程為
;
(2)(。┊(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),方程為 ,可得
.
(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)方程為 聯(lián)立直線方程與拋物線方程,可得關(guān)于
的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得
再由 ,結(jié)合等號成立的條件求得
的值,進(jìn)一步得到
值,則
與
的面積之和取得最小值時(shí),直線
的方程可求
試題解析:
(1)設(shè)點(diǎn),圓心
,
圓與軸相切于點(diǎn)
,則
,
所以,
又點(diǎn)為
的中點(diǎn),所以
,
所以,整理得:
.
所以點(diǎn)的軌跡方程為:
.
(2)(ⅰ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),方程為:
,
易得.
(ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為:
,
,
,
由消去
并整理得:
,
所以,
,
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,又
,
所以,
或
,
,
所以,解得:
,
因?yàn)?/span>,所以當(dāng)兩個(gè)三角形的面積和最小時(shí),
直線的方程為:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知m,n∈R+,f(x)=|x+m|+|2x-n|.
(1)當(dāng)m=n=1時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(x)的最小值為2,求證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長,下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理, 得到下表2:
時(shí)間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z關(guān)于t的線性回歸方程;
(Ⅱ)通過(Ⅰ)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程;
(Ⅲ)用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該地儲蓄存款額可達(dá)多少?
(附:對于線性回歸方程,其中
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出,掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好,從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間,并整理得到如下頻率分布直方圖:
根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間,可以將學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個(gè)等級 :
(Ⅰ)從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生,試估計(jì)其“愛好”中華詩詞的概率;
(Ⅱ)從兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人,記為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
;
(Ⅲ)試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”時(shí)間的平均值與
的大小,及方差
與
的大。(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)求證:存在唯一的,使得曲線
在點(diǎn)
處的切線的斜率為
;
(3)比較與
的大小,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列中,
,
成等差數(shù)列;數(shù)列
中的前
項(xiàng)和為
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前
項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)
在橢圓
上,過
作
軸的垂線,垂足為
,點(diǎn)
滿足
.(Ⅰ)求點(diǎn)
的軌跡方程
;
(Ⅱ)過的直線
與點(diǎn)
的軌跡交于
兩點(diǎn),過
作與
垂直的直線
與點(diǎn)
的軌跡交于
兩點(diǎn),求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓的圓心為
,直線
過點(diǎn)
且與
軸不重合,
交圓
于
兩點(diǎn),過
作
的平行線交
于點(diǎn)
.
(1)證明為定值,并寫出點(diǎn)
的軌跡方程;
(2)設(shè),過點(diǎn)
作直線
,交點(diǎn)
的軌跡于
兩點(diǎn) (異于
),直線
的斜率分別為
,證明:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中,
平面
,
,點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn),設(shè)直線
與平面
交于點(diǎn)
.
(1)已知平面平面
,求證:
.
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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